Проблемы эволюционного проектирования машин по эколого-акустическим критериям

О.Н. Поболь, И.Н. Статников*, Г.И. Фирсов*
Российский заочный институт текстильной и легкой промышленности,
г. Москва
*Институт машиноведения им А.А. Благонравова РАН,
г. Москва

Создание современных малошумных машин неразрывно связано с использованием развивающихся информационных технологий, предусматривающих применение методов эволюционного моделирования, в частности планируемого ЛП-поиска [1]. Ниже на примере решения двухкритериальной задачи оптимального проектирования системы вибропоглощения ткацкого станка рассматривается методика построения акустической модели машины, позволяющей установить зависимость ее шумовых характеристик от конструктивных и динамических параметров системы. Акустическая модель механической конструкции станка рассматривается как иерархическая структура, которая состоит из комплекса независимых элементарных излучателей (монополей, диполей и пластин). Для описания акустических процессов используется диффузионно-энергетическая теория потоков акустической энергии, позволяющая рассмотреть механическую структуру как сложную систему взаимосвязанных конструктивных элементов. Условия ее применения, обеспеченные в большинстве машин, таковы: диффузность (т.е. равномерное распределение колебательной энергии по поверхности элементов при достаточно большой плотности собственных частот в рассматриваемых полосах) изгибных колебаний, переносящих основную акустическую энергию в структуре машины; независимость энергии возбуждения колебаний от резонансных свойств структуры как следствие ее энергетической замкнутости; незначительность мощности звукоизлучения по сравнению с диссипативными потерями акустической мощности в механической структуре [2].

Уравнение для потоков энергии в конструкции машины можно записать [3] в конечно-разностной форме в виде системы линейных алгебраических уравнений, правая часть которых является функцией возбуждения, действующего в машине AX = B, где элементы матрицы A и векторов X и B соответственно равны

где N - число подсистем; E₀ - пороговое значение акустической мощности, равное 10^-12 Вт; w - круговая частота колебаний; h_j, h_ij - коэффициенты внутренних потерь и потерь в связях соответственно; E_j - полная энергия колебаний; P_j - мощность энергетического потока, введенная в j–ую подсистему от механизмов машины. Таким образом, полная энергия колебаний и поток колебательной энергии в система конструкции пропорциональны мощности энергетического потока, введенного от механизмов станка. При стремлении к снижению уровня шума, возникающего при работе машины, не менее важной представляется проблема экономичного решения указанной задачи. Иначе говоря, при имеющемся выборе возможных технических решений задачи снижения шума необходимо выбрать наиболее экономичное для его реализации. Такая интуитивно ясная цель проектирования системы шумопоглощения приводит в математическом плане решения задачи к необходимости выбора параметров устройства, удовлетворяющих одновременно наилучшим образом тем критериям качества, с помощью которых он оцениваются. При выдвинутой цели проектирования максимальное одновременное приближение значений критериев качества к экстремальным означает реализацию наилучшего проекта.

Однако практика проектирования показывает, что в большинстве случаев не удается выбрать техническое решение, оптимальное по каждому критерию качества. Необходимо выбирать решение по какой-либо определенной схеме компромисса. Выбор, которой означает не что иное, как сведение задачи многокритериальной (векторной) оптимизации к скалярной, где в качестве единой скалярной функции цели может выступать либо разумно обоснованная функциональная зависимость между отдельными критериями (свертка), либо система каких-нибудь логических требований, позволяющих также выбрать одно или несколько компромиссных решений. Если бы и удалось найти единственное компромиссное решение, то с практической точки зрения такое решение не всегда обладало бы большой ценностью вследствие возникающих технических трудностей его реализации. Поэтому необходимо попытаться сначала отыскать в пространстве оптимизируемых параметров область, где сконцентрировано наибольшее число решений задачи, в максимальной степени удовлетворяющих выбранной схеме компромисса.

В качестве примера рассмотрим задачу выбора оптимальных параметров виброзащитного покрытия ткацкого станка [2]. Качество этого покрытия оценивалось двумя критериями: функцией характеризующей уровень шумов станка, и функцией определяющей расход виброизолирующего материала. В обеих функциях - вектор коэффициентов внутренних потерь h_j (j = 1, ..., 6). Стояла задача минимизации обоих критериев. Однако с самого начала из физического смысла было ясно, что оба критерия - и - противоречивы в смысле влияния на них коэффициентов h_j: смещение в сторону больших значений h_j приводит к уменьшению и росту и наоборот. Необходимо было отыскать компромиссное решение. В такой постановке задача решалась на основе выделения в "пространстве параметров h_j областей концентрации наилучших решений по каждому критерию методом ПЛП-поиска. Результаты поиска компромиссного, решения оценивались следующим образом. Были введены безразмерные критерии и , полученные по. Формуле так, что 0 £ l₁ l₂ £ 1. Очевидно, что на плоскости нормированных критериев l₁0l₂ точке с координатами (1;1) будет соответствовать идеальная модель системы вибропоглощения станка (). Таким образом, цель решения рассматриваемой задачи сводится к нахождению в области изменения параметров такой подобласти чтобы параметрам h_j из этой подобласти соответствовало множество решений , где i = 1, …,N₁, у которых разности и одновременно имели бы минимальные значения. Для удовлетворения поставленной цели введем две вспомогательные оценочные функции: функцию полезности где и функцию Значения при соответствующих значениях будут тем больше, чем больше значения l_k. Функция позволяет вычислить расстояние от точки на плоскости l₁0l₂ до прямой, определяемой уравнением l₁ - l₂ = 0. Значение тем меньше, чем меньше различие в значениях l₁ и l₂. В пределе (l₁ = l₂) при неравных значениях весовых коэффициентов c_k Если же весовые коэффициенты брать равными, то при l₁ ® l₂ Минимизация функции позволяет выделить в области такую подобласть содержащую множество решений , у которых разность (или ) стремится к нулю. Теперь ясна и геометрическая интерпретация цели решения задачи (т.е. выбранной схемы компромисса): найти в области такую подобласть , которая являлась бы или пересечением подобластей и , или их объединением.

Задача выделения подобластей и решалась путем использования метода ПЛП-поиска [4]. Была просчитана матрица планируемых экспериментов со следующими параметрами: N = 320 – общее число экспериментов; r = 6 – числа варьируемых параметров (коэффициентов потерь); M_j = 32 – число экспериментов в одной серии; = 10 – число серий экспериментов. При расчетах значения были приняты равными (c₁ = c₂ = 0,5). Проведя дисперсионный анализ по каждой из функций и , удалось выделить в пространстве варьируемых h_i подобласти и . Из анализа двух выделенных подобластей получено, что цель задачи можно удовлетворить в подобласти Действительно, в подобласти было просчитано методом ЛП-поиска [5] 512 вариантов покрытий станка и найдено 11 моделей, у которых одновременно l₁ ³ 0,8 и l₂ ³ 0,8. В то же время были проанализировано 100 вариантов, у которых одновременно l₁ ³ 0,7 и l₂ ³ 0,7. Оказалось, что область граничных значений h_i для вариантов с l₁ ³ 0,8 и l₂ ³ 0,8 целиком содержится в области граничных значений h_i для вариантов с l₁ ³ 0,7 и l₂ ³ 0,7. Поэтому в этой области (l₁ и l₂ ³ 0,8) было просчитано еще 192 варианта. В исходной области было также просчитано ЛП-поиском 1024 варианта покрытия станка. Некоторые сравнительные результаты приведены в табл. 1, где на пересечении строки и столбца стоит число вариантов покрытия из 1024, у которых значения l_k одновременно больше некоторой заданной величины. В табл. 2 приведены некоторые варианты покрытия с числовыми характеристиками, у которых одновременно l₁ ³ 0,8 и l₂ ³ 0,8.

Таблица 1

Таблица 2

Результаты табл. 1 и 2 со всей наглядностью свидетельствуют о преимуществах предварительного выделения в пространстве оптимизируемых параметров подобласти, содержащей наилучшие решения многокритериальной задачи в соответствии с выбранной схемой компромисса. Именно в этой подобласти следует вести дальнейший поиск удовлетворительных решений.

Далее сравнивались количества N₁ вариантов виброзащитного покрытия, у которых и одновременно больше некоторой константы, задаваемой проектировщиком, для двух случаев: при слепом поиске в исходной области параметров h_j и в выделенной при одинаково затраченном общем числе N = 1024 испытаний на ЭВМ. Анализ показал, что в выделенной области сконцентрировано множество компромиссных решений, у которых одновременно и достигают максимального значения (в этом и выражается стремление заказчика при выборе вариант покрытий). Более того, можно утверждать с-вероятностью, не меньшей 0,95, что выделенная область является областью Парето [6] (или почти достоверно содержит ее), поскольку не удалось найти ни одного варианта, у которого бы достижение значения l₁ ³ 0,9 не сопровождалось одновременно уменьшением значения l₂ (и наоборот). Этот вывод подтверждается и тем, что при проведении контрольных испытаний в выделенной области (N = 200):были достигнуты следующие средние значения по l₁ и l₂ с соответствующими стандартными отклонениями: 0,843 ± 0,047. и 0,715 ± 0,075. На основе применения методов эволюционного моделирования удалось за сравнительно небольшое число машинных экспериментов выделить область варьируемых параметров (в качестве которых приняты значения коэффициентов демпфирования узлов станка), в которой с высокой степенью вероятности нормированные критерии качества, оценивающие уровни шума и расход виброизолирующего материала, превышают 0,5. На основе выделения такой области и понимания физических процессов удалось построить математические модели, связывающие достаточно надежно значения критериев со значениями варьируемых параметров. С другой стороны, на основе построенных математических моделей для критериев качества построены функции чувствительности критериев по варьируемым параметрам и тем самым созданы объективные возможности предварительного выбора компромиссного варианта покрытия по критериям уровня шума и расходов на шумозащиту.

Списоклитературы

1. Pobol O.N. The Ecological Acoustics of Machines: System Simulation and Machine Control in the Technosphere / Pobol O.N., Panov S.N., Firsov G.I. // Fourth International Congress on Sound and Vibration (St.Petersburg, 24-27 June 1996): Proceedings / Ed. by M.J.Crocker and N.I.Ivanov. Vol. 2. - St.Petersburg: 1996. - P. 1107 - 1114.

2. Поболь О.Н. Основы акустической экологии и шумозащита машин / Поболь О.Н. - М.: ЗАО «Информ-Знание», 2002. - 272 с.

3. Статников И.Н. ПЛП-поиск и его реализация в среде MATLAB / Статников И.Н., Фирсов Г.И. // Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB. - М.: ИПУ РАН, 2004. - С.398-411.

4. Статников И.Н. ПЛП-поиск - эвристический метод решения задач математического программированияСтатников И.Н., Андреенков Е.В. - М.: МГУДТ, 2006. - 140 с.

5. Соболь И.М. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями / Соболь И.М., Статников Р.Б. - М.: Дрофа, 2006. - 175 с.

6. Статников И.Н. Многокритериальный синтез динамических систем машин методом ПЛП-поиска / Статников И.Н., Фирсов Г.И. // Информационные системы и модели в научных исследованиях, промышленности и экологии. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2008. - С.11-12.

Назад к списку