Устойчивость движения твердого тела под действием малых консервативных возмущений

К.М. Селиванов
Чайковский технологический институт (филиал) Ижевского государственного технического университета,
г. Чайковский

---

Запишем уравнения движения твердого тела в форме системы уравнений Гамильтона [1,2].

(1)

где - соответственно угловые импульсы, навигационные углы и их производные, - диссипативные моменты с полной и неполной диссипацией энергии.

Кроме рассмотренных, явно задаваемых сил, обеспечивающих режим движения, на объект действуют силы малой интенсивности самой различной природы. Указанные силы приводят к изменению её фазовых траекторий. Требование малости отклонения фазовой траектории, при условии малости действующих возмущающих силы произвольной природы, очевидно, составляет необходимое условие устойчивости режима движения [3,4,5,6,7,8].

Таким образом, под устойчивым режимом движения, будем понимать способность объекта сколь угодно долго оставаться в фиксированной окрестности невозмущённой фазовой траектории при действии на него малых возмущающих факторов (устойчивость по Лагранжу [9]).

Недопустимые режимы движения для одних объектов, могут оказаться желательными для других. Поэтому, свойство устойчивости или неустойчивости, вообще говоря, должно быть отнесено к произвольному режиму движения. В этой связи, мы не будем накладывать на выбор фазовых траекторий условий связанных с геометрией движения конкретного объекта.

Формализуем введённые понятия и определения.

Пусть динамические уравнения углового положения объекта определены системой дифференциальных уравнений. Пусть

(2)

или, что тоже

(3)

некоторое фиксированное решение этой системы, моделирующее режим движения при начальных условиях:

(4)

или

(5)

Поведение объекта при его отклонении от фиксированного режима движения определяет его устойчивость или неустойчивость. В этой связи, режим движения, моделируемый функциями будем называть невозмущённым движением, а все другие движения при тех же начальных условиях – возмущёнными движениями. Фазовые траектории возмущённых движений будут иметь вид:

(6)

где

(7)

- возмущающие функции.

Будем считать функции (7) и (3) одного класса дифференцируемости. Тогда, можно утверждать, что фазовым траекториям соответствует собственная система динамических уравнений

; (8)

полученная из системы (1), наложением возмущения (7).

Формализуем условие малости возмущений. Однопараметрические возмущения вида , будем называть бесконечно малыми по параметру , если выполняется условие:

. (9)

Класс эквивалентности однопараметрических преобразований функций (2) вида

, (10)

отличающиеся бесконечно малыми выше первого порядка, назовём бесконечно малыми возмущением фазовой траектории.

Для бесконечно малых по параметру возмущений динамические уравнения будут иметь вид:

(11)

Исследуем свойства динамической системы (11). Как и в не возмущенном случае, анализ целесообразно провести отдельно для консервативной и диссипативной частей.

Пусть невозмущённое движение объекта в отсутствие действия сил диссипации (полной и неполной) выразится в форме консервативной системы:

, (12)

Как следует из (11), системе (12) будет соответствовать возмущённо-консервативная система:

, (13)

Бесконечно малые возмущения (10) сохраняющие гамильтонову форму динамических уравнений невозмущённого движения (10) будем называть бесконечно малыми консервативными возмущениями. Как следует из теории [10], сохранение гамильтоновой формы дифференциальных уравнений, равносильно требованию каноничности преобразований фазового пространства. Таким образом, математическим выражением требования консервативности малых возмущений является их принадлежность к классу бесконечно малых по параметру канонических преобразований.

Сохранение гамильтоновой формы преобразования позволяет представить гамильтониан возмущённой системы (12) в форме канонических рядов [11] вида:

, (14)

Сходимость рядов (14) обеспечивает выполнение условия устойчивости движения, к малым консервативным возмущениям, поскольку означает сколь угодно долгое нахождение фазовой траектории в окрестности невозмущённого движения. Заметим, что условие консервативности возмущения (10), существенно. При его отсутствии условие малости возмущения, гарантировало бы только выполнение условия устойчивости в течение некоторого конечного промежутка времени.

Вопрос о расходимости рядов (13), или, что тоже, об условиях при которых малые консервативные возмущения приводят к нарушению устойчивости движения, носит фундаментальный характер и рассматривается в теории условно-периодических движений. Из достигнутых к настоящему времени результатов, в нашем случае достаточными оказываются следующие [10]. Во-первых, что ряды (13) заведомо могут расходиться, при попадании фазовой точки в малую окрестность сепаратрис, что соответствует нахождению твердого тела вблизи нейтрального положения между состоянием колебаний и вращений. Все другие случаи расходимости, при разумных предположениях о величине параметра имеют исключительный характер и представляют лишь теоретический интерес, поскольку скорость ухода возмущённой траектории оказывается пренебрежимо малой по отношению ко времени полёта. Такие выводы реальной картине – постоянно действующие на объект малые возмущения различной природы, не нарушают режим движения, если он не оказывается вблизи критических режимов.

Таким образом, мы принимаем следующие результаты.

1. Малые консервативные возмущения не нарушают устойчивость режима движения твердого тела.

2. Нарушение устойчивости является достаточным условием критических режимов полёта: - перехода колебания - вращения.

Проанализируем вопрос о влиянии диссипативных возмущений на устойчивость движения. Как и в консервативном случае, будем предполагать их степень малости выше первого порядка (10). Рассмотрим бесконечно малые возмущения с полной диссипацией энергии (возмущения связанные с вязким трением). Динамическая система в условиях малых диссипативных возмущений может быть получена на основе консервативно возмущенной системы (12) и будет иметь вид:

, (15)

Диссипативную часть преобразования, можно рассматривать как некоторое малое по порядку шага монотонное возмущение диссипативной функции вида , которое увеличивает или уменьшает имеющуюся диссипацию энергии.

В соответствие с теоремой Лагранжа [12], наличие диссипативных сил в устойчивой системе делает её асимптотически устойчивой. В интересующей нас случае, устойчивости по Лагранжу, это означает:

3. Бесконечно малые диссипативные возмущения проявляется в увеличении или уменьшении стабилизирующего фактора действующих диссипативных сил в форме экспоненты порядка .

Список литературы

1. Ефимов И.Н. Каноническое интегрирование гамильтоновых систем / И.Н. Ефимов, Е.А. Морозов. - Екатеринбург: Изд-во Института УрО РАН, 2006. - 143 с.

2. Ефимов И.Н. Канонические преобразования фазового пространства в динамике твердого тела. // Вестник ИжГТУ / И.Н. Ефимов, Е.А. Морозов, К.М. Селиванов, Е.В. Ермолаева. - 2009. - №4. - Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2009. - С. 190-195.

3. Пашковский И.М. Устойчивость и управляемость самолета / И.М. Пашковский. – М.: Изд-во «Машиностроение», 1975. – С. 328.

4. Матвеев В.Н. Расчет возмущенного движения самолета / В.Н. Матвеев. – М.: Оборонгиз, 1960. – С. 224.

5. Смешко Ю.И. Устойчивость и управляемость самолета в эксплуатационной области полета: Справочник / Ю.И. Смешко. – М.: Машиностроение, 1987. - 136 с.

6. Горощенко Б.Т. Динамика полета самолета / Б.Т. Горощенко. – М.: Оборонгиз, 1954.

7. Остославский И.В. Продольная устойчивость и управляемость самолета. Гос. изд-во оборонной промышленности / И.В. Остославский, Г.С. Калачев. – Москва, 1951.

8. Пышнов В.С. Динамические свойства самолета / В.С. Пышнов. – М.: Оборонгиз, 1951. - 173 с.

9. В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл. Х. Сендов «Математический анализ» ч. 1, изд. 3, ред. А.Н. Тихонов, изд.: Проспект 2004.

10. Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику / Н.В. Бутенин. – М.: Наука, 1971. – 264 с.

11. Савельев И.В. Курск общей физики, т.1. – М., "Наука", 1971г.

12. Маркеев А.П. Теоретическая механика / А.П. Маркеев. - М.: Наука, 1990.- 416 с.

---

Назад к списку