Об адаптивных моделях стохастических систем

А.В. Медведев, А.В. Стрельников
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнёва,
г. Красноярск

---

Одним из важнейших этапов исследований сложных объектов является построение математических моделей. В модели отражаются только те свойства, которые представляют интерес для исследователя. Такое преимущество позволяет проводить эксперименты, используя модель, а не сам объект, что в свою очередь позволяет сэкономить ресурсы. И чем качественнее модель, т.е. чем в большей степени свойства модели приближены к свойствам объекта, тем меньше затраты в процессе исследования. Именно поэтому построение математической модели является крайне важным этапом исследования.

Математическая модель строится на основании известной априорной информации об исследуемом объекте и экспериментальных данных. Недостаточность или специфичность такой информации могут привести к определенным затруднениям в построении модели. Одна из таких особенностей рассматривается в данной статье.

Пусть объект относится к классу статических и соответствует приведенной схеме:

Рис.1. Схема объекта исследования

где O – статический оператор объекта, - выходная скалярная переменная объекта, - входная векторная переменная объекта размерности n, - случайное воздействие, и - помехи, присутствующие в каналах измерений, и - измерения. Между компонентами вектора входной переменной может существовать статистическая зависимость. В дальнейшем будем говорить, что объект, в котором существует статистическая зависимость между компонентами вектора входной переменной, имеет «трубчатую» структуру. Необходимо построить математическую модель, удовлетворяющую реальности, зависимости выходной переменной от входной.

Данная статья посвящена моделированию объектов, имеющих «трубчатую» структуру. Подобное явление было описано в [1] для процессов металлургии. Чтобы понять, в чем именно состоит проблема, необходимо более детальное представление о «трубчатых» структурах. Рассмотрим пример:

Рис.2. Объект с «трубчатой» структурой

Для рассматриваемого объекта область изменения входных и выходных переменных без нарушения общности можно представить в виде гиперкуба. Эта область всегда известна. На примере, изображенном на рис.2, гиперкуб является трехмерным единичным кубом. Если имеется возможность, всегда рекомендуется приводить область к единичному гиперкубу для упрощения вычислений. Для систем «трубчатой» структуры область существования объекта ограничивается не только гиперкубом , но и некоторой его подобластью - «трубкой», которая никогда неизвестна. В этом заключается вся сложность исследуемой задачи. Т.к. область «трубки» неизвестна, то и наличие самой особенности тоже неизвестно.

На приведенном примере можно заметить, что объем гиперкуба многократно превышает объем «трубки». Это различие существенно увеличивается при повышении размерности. Именно поэтому следует учитывать в алгоритмах особенность «трубчатой» структуры, т.к. очень высока вероятность, что модель окажется неадекватной.

Перейдем к моделированию таких объектов. Пусть объект исследования соответствует схеме, приведенной на рис.1, и описывается уравнением:

, (1)

где и . Пусть имеется выборка статистически независимых измерений. Между компонентами вектора входной переменной существует статистическая зависимость. Тип этой зависимости неизвестен. Обозначим – область изменения входных-выходных переменных, – область существования объекта.

П. Эйкхофф в [2] классифицирует задачу идентификации на идентификацию в «узком» смысле и в «широком», или другими словами на параметрическую идентификацию и непараметрическую. Принципиальное отличие этих задач заключается в уровне априорной информации. Параметрическая идентификация требует более полную информацию об объекте в отличие от непараметрической идентификации.

Процедура моделирования в «узком» смысле предполагает выполнение двух этапов. На первом этапе выбирается структура модели с точностью до параметров. Для определения структуры и нужна достаточная априорная информация. Такой информацией могут служить физические, химические и др. законы (например, закон сохранения масс) или любая другая информация об особенностях объекта. Модель объекта будет иметь вид:

, (2)

где - выходная переменная модели , - параметрическая оценка функции , - некоторый набор параметров.

Вторым этапом параметрической идентификации является оценка набора параметров . Оценка производится по квадратичному критерию на основе выборки :

. (3)

Характерное свойство моделей типа (2) заключается в том, что они существуют на всей области определения гиперкуба , в то время как объект существует лишь в некоторой подобласти это гиперкуба . Другими словами, модель содержит точки, которые принадлежат гиперкубу , но не принадлежат области «трубки» . На рис.2 такая точка обозначена D, точка А принадлежит . Такие точки соответствуют несуществующим состояниям исследуемого объекта, поэтому обычные модели могут оказаться неадекватными. Также для различных выборок могут получиться модели с существенно отличающимися оценками параметров . Это естественно, потому что для функциональной зависимости «трубчатая» структура характеризуется кривой в пространстве, а параметрические модели представляют собой поверхность. А, как известно, через кривую в пространстве может проходить бесконечное множество поверхностей.

Продемонстрируем описанное выше свойство на следующем примере. Пусть объект описывается уравнениями:

(4)

где и - случайные числа, распределенные по равномерному закону на симметричном интервале .

Пусть существует три выборки статистически независимых измерений объемом . Для каждого случая с помощью линейного МНК построим модель. Результаты моделирования представлены на рис.3. Получили три моделей с различными оценками параметров, две из которых выходят даже за границу регламента: . Другими словами, полученные модели неадекватны. Однако значения среднеквадратичных критериев для всех полученных моделей не превышают и одной тысячной.

Рис.3. Параметрические модели объекта с «трубчатой» структурой

Чтобы избежать подобных ситуаций введем индикаторную функцию:

(5)

где Ф(·) – финитная колоколообразная функция, а параметр с_s- коэффициент размытости удовлетворяющие условиям [1]. Индикаторная функция является оценкой . Теперь модель (2) примет вид:

. (6)

Результаты моделирования с применением (5) приведены ниже.

Рис.4. Модель объекта с «трубчатой» структурой

На рис.4 светло-серой плоскостью в клетку обозначена обычная параметрическая оценка, а темно-серым цветом – оценка с учетом «трубчатой» структуры. Черными точками отмечена выборка измерений.

Часто бывают ситуации, когда накопленных знаний об исследуемом объекте недостаточно, чтобы определить структуру его модели с точностью до параметров. В этом случае используют непараметрическую идентификацию, в которой модель строится без этапа выбора структуры.

В общем случае непараметрическую модель можно представить в виде:

, (7)

где - оценка выхода процесса, - непараметрическая оценка функции , а , - временные векторы.

Для идентификации в «широком» смысле воспользуемся непараметрической оценкой Надарая-Ватсона [3]:

. (8)

Модель (8) уже соответствует «трубчатой» структуре, т.к. в области, где объект не существует, эта оценка обращается в неопределенность.

Работу непараметрического алгоритма моделирования можно продемонстрировать на нелинейном объекте с зависимостью между переменными в виде статистического уравнения. Обратим внимание, что объект является однозначным по входу.

(9)

Результаты моделирования приведены на рис.5. Черными точками показана выборка статистически независимых измерений, а серой областью показана оценка области .

Рис.5. Непараметрическая модель «трубчатой» структуры

Таким образом, были получены адекватные модели для объектов, имеющих «трубчатую» структуру. Подобные объекты часто встречаются в активных системах. Характерной чертой задач моделирования таких систем является большая размерность экспериментальной выборки и ее малый объем. В дальнейшем предполагается использовать описанные алгоритмы при исследовании активных систем.

Список литературы

1. А.В. Медведев. Анализ данных в задачах идентификации / А.В. Медведев // Компьютерный анализ и моделирование. Т. 2. Минск: Изд-во Белорус. гос. ун-та, 1995. С. 201-206.

2. П. Эйкхофф. Основы идентификации систем управления. Оценивание параметров состояния. Под ред. Н.С. Райбмана. Изд-во «Мир». Москва, 1975. –680 c.

Э.А. Надарая. Непараметрические оценки кривой регрессии // Труды ВУ АН ГрССР. – Тбилиси: вып. 5, 1965. С. 56-68.

---

Назад к списку