О непараметрическом моделировании динамических объектов

А.В. Медведев, В.Ф. Первушин
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнёва,
г. Красноярск

Введение. Использование математических моделей в современном мире является привычной практикой для решения различных задач возникающих на этапах проектирования, тестирования и управления различного рода технологическим оборудованием и производственными агрегатами. Реже математические модели используются в описании процессов и явлений в экономике, биологии, химии и других областях деятельности человека, в которых процесс построения матю моделей является более затруднительным, чем в технике по множеству причин. Таким образом, сегодня, пожалуй, не найдется человека, который ещё не ощутил на себе, осознано или не осознано, изменения окружающего мира, одним из оснований которых служат математические модели.

Начиная от фундаментальных законов, преподаваемых в школах и заканчивая программно-аппаратными комплексами управления сложным оборудованием, математические модели служат человечеству и помогают познавать окружающий нас мир, в значительной степени экономить ресурсы, будь то финансовые, временные, и другие типы ресурсов. Мат. модели служат основой для алгоритмов, строящих метеорологические прогнозы и прогнозы котировок, модели используются для проведения тестов и испытаний с дорогостоящими или опасными объектами и сооружениями, также они используются при управлении всевозможными процессами, будь то производственная линия или организационная структура предприятия.

Априорная информация. В данной работе приводятся методы, и результаты численного применения этих методов, а также выводы, относящиеся к ним, позволяющие строить модели процессов и объектов, при определенных предположениях об этих объектах и при наличии определенной априорной информации.

Подходя ближе к математической постановке задачи, следует остановиться на вопросе, касающемся уровня априорной информации об объекте моделирования. Подробнее об уровнях априорной информации читатель может ознакомиться в монографии [1]. В данной работе предполагается наличие относительно небольшого объема информации об объекте относящее исследуемый объект к системам с непараметрической неопределенностью. Иначе говоря, предполагается, что исследователь располагает только сведениями о качественных характеристиках объекта (линейность, динамичность, стационарность и т.п.) а также имеет возможность проведения активных экспериментов с этим объектом для изучения зависимостей описывающих объект. Такой подход относительно редко встречается в классических теориях моделирования и идентификации, при этом он позволяет описывать объекты в условиях, намного чаще встречающихся в прикладных задачах. Существенным отличием непараметрического подхода к идентификации (в «широком» смысле) объектов от параметрической идентификации (в «узком» смысле) является существенное снижение влияния результатов определения структуры модели на качество этапа идентификации.

Постановка задачи. В работе рассматриваются объекты, которые несущественно отличаются по своим свойствам от идеализированных линейных динамических объектов, другими словами данные объекты можно отнести к классу линейных динамических, что означает, что их выходная реакция на линейную комбинацию входных стимулов удовлетворительно описывается линейной комбинацией выходных сигналов (рис.1); кроме этого приставка «динамический» (иногда используют термин «объект с памятью» [1]) означает, что выходная реакция объекта в определенный момент времени в значительной степени зависит от выходной реакции объекта в предыдущие моменты времени. Схематично представим задачу идентификации на нижеследующем рисунке:

Рис.1. Схема идентификации

где - входное воздействие на объект; - выходная реакция объекта на входное воздействие (в общем случае и могут обозначать набор переменных); под объектом понимается некоторый оператор, описывающий связи внутри объекта между входом и выходом; , - каналы связи соответствующие различным переменным; , - случайные помехи в каналах связи; и - измерения и соответственно в момент времени , - выходная реакция модели объекта.

Так, постановка задачи изучаемой в данной работе звучит следующим образом: пусть исследуемый объект относится к классу линейных динамических стационарных объектов. Также, существует возможность проведения активных экспериментов с объектом и фиксации результатов этих экспериментов в виде выборок значений входных и выходных сигналов объекта , где - пара значений (в общем случае векторов значений) входного и выходного сигналов соответственно в момент времени , - объем полученной выборки. Учитывается воздействие случайных помех в каналах связи , с неизвестными законами распределения. Требуется на основании имеющейся информации построить модель реакции объекта , удовлетворяющую критерию качества .

Критерий качества модели отражает насколько качественно описаны интересующие исследователя свойства объекта. В нашем случае, предлагается использовать среднеквадратическую ошибку моделирования выходной реакции объекта (1), а для относительной оценки качества модели среднюю абсолютную относительную ошибку моделирования выходной реакции объекта (2).

, (1)

, (2)

где - значение выходного сигнала модели в момент времени .

Непараметрические модели. В качестве моделей изучаемых объектов предлагается использовать форму интегральной свертки характеристик объекта (для простоты приводится случай, когда «вход» и «выход» - скаляры)

. (3)

Интеграл (3) называют уравнением Коши-Лагранжа [2]. Данное уравнение описывает зависимость выходной реакции объекта от входного возмущения объекта , а также характеристик самого объекта: свободной составляющей движения , описывающей возмущения, оказываемые на «выход» из-за начального состояния объекта в начальный момент времени ; импульсной-переходной характеристики объекта описываемой функцией времени , характеризующей инерционность объекта.

Чтобы использовать уравнение (3) для описания объекта необходимо определить характеристики объекта, описываемые функциями и . Одним из традиционных способов определения этих характеристик на уровне непараметрической неопределенности системы является метод, использующий тестовые ступенчатые сигналы. Данный метод заключается в подаче на вход объекта сигнала, максимально приближенного к ступенчатому сигналу, описываемому функцией Хевисайда и снятии с выхода объекта значений переходной функции . Связь переходной и импульсной-переходной функций объекта в виде равенства позволяет определить значения характеристики . При ненулевых начальных условиях объекта задача идентификации с использованием метода воздействия ступенчатыми сигналами несколько усложняется. Для его реализации необходимо проведение серии (минимум пару) экспериментов с объектом, приведенным в одно и то же начальное состояние. Суть метода заключается в воздействии на объект поочередно ступенчатыми сигналами с разными амплитудами и . В итоге получаем систему уравнений:

. (4)

Здесь - реакция объекта на возмущение , - реакция на . Решив систему (4) получим выражение, для неизвестных характеристик

. (5)

После обработки результатов экспериментов (5) имеем выборки значений характеристик объекта и . На основании данных выборок произведем оценивание характеристик объекта, получим модели свободной составляющей движения объекта и импульсной-переходной характеристики . Используя эти модели, сформируем модель объекта

. (6)

Непараметрические модели класса (6) впервые были предложены в [3], основанные на непараметрических оценках функции регрессии Надарая-Ватсона [4] и Пристли [5]. Также, рассматривается подход к идентификации импульсной-переходной характеристики предложенный в [6]. Так, для оценки характеристик объекта в работе используются непараметрические статистики

, (7)

, (8)

где обозначает дискретный момент времени соответствующей -ой точке выборок характеристик, колоколообразная функция и параметр размытости удовлетворяют условиям сходимости [7], к тому же на функцию накладывается условие непрерывной дифференцируемости.

Вычислительный эксперимент. Обоснованием работоспособности предлагаемого подхода являются результаты численных экспериментов приведенные ниже. Исследования производились в условиях нахождения объекта в нулевых начальных условиях. Для исследования были получены выборки значений входной и выходной реакций объекта на единичное ступенчатое воздействие с аддитивной помехой с 5% степенью разброса относительно полезного сигнала и построена модель вида (6) с использованием оценок (7) и (8). После этого значения модели сравнивались со значениями выходной реакции объекта при помощи критериев (1) и (2). Результаты эксперимента представлены на рис.2, значения критериев , при и .

Рис.2. Численный эксперимент

Точками на графике на рис.2 изображены значения выборки реакции объекта на единичное входное возмущение, непрерывной линией – модель, построенная на основании полученных значений. В докладе также представлены реакция объекта и модели на различные входные воздействия.

Заключение. Анализ результатов проведенного эксперимента, а также опыт использования данного подхода для решения задачи моделирования линейных динамических объектов позволяет сделать вывод, что предлагаемый метод позволяет строить достаточно точные и адекватные модели объектов и процессов, при отсутствии удовлетворительного параметрического описания этих объектов и процессов, либо отсутствии ресурсов для получения такого параметрического описания.

Список литературы

1. Фельбаум, А.А. Основы теории оптимальных автоматических систем/ А.А. Фельдбаум. М.: Физматгиз, 1963.

2. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. - М.: Наука, 1978.

3. Medvedev A.V. Identification and control for linear dynamic systems of unknown order. // Optimization Techniques IFIP Technical Conference / Berlin – Heidelderg – New-York: Springer – Verlag, 1975. - p. 48-55.

4. Надарая Э.А. Непараметрические оценки плотности вероятности кривой регрессии. – Тбилиси: изд Тбил. Ун-т, 1983. – 194 с.

5. Priestley M.B., Chao M.T. Nonparametric function fitting.// Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 34, 1972. - Pp. 385-392.

6. Сергеева Н.А. О непараметрических оценках производной плотности вероятности и кривой регрессии // Статистические методы оценивания и проверки гипотез: Межвузовский сборник научных трудов. Пермь: Изд-во ПГУ, 1996. - С.59 - 67.

7. Медведев А.В. Непараметрические системы адаптации / А.В. Медведев. Новосибирск: Наука, 1983. 

Назад к списку