Моделирование решения плоских задач о концентрации напряжений около отверстий в системе MAPLE

Н.А. Щукина, Ю.Ю. Андреева
Волгоградский государственный технический университет,
г. Волгоград


Для упрощения постановки и получения аналитических решений нелинейных моделей является метод возмущений, который использует разложение в степенные ряды по малому параметру объекты, описывающие напряженно-деформированное состояние. Ограничиваясь двумя первыми членами полученных разложений, получаем метод эффектов второго порядка. Использование в разложении возмущений, содержащих степени относительно малого параметра выше второй, «технически» затруднительно. Для реализации символьных выкладок и автоматизации вывода уравнений движения (равновесия) создается проблемно специализированная САВ (Система Аналитических Вычислений) «Концентрация напряжений около отверстий» на базе пакета Maple.

Конфигурация предлагаемой САВ представлена в виде библиотек программ, подгружаемых в Maple пользователем. Структура интерфейса имеет вид рабочего листа Maple, что упрощает освоение САВ «Концентрация напряжений около отверстий» как для механика, знакомого с Maple, так и для студента. Подгружаемые библиотеки могут быть отнесены к алгоритмическим подсистемам, а содержащиеся в них программы – к символьным блокам. Эти блоки являются составной частью алгоритмических подсистем, предназначенных для моделирования краевых задач нелинейной теории упругости.

Предлагается алгоритмическая подсистема, предназначенная для аналитического решения задач плоской деформации о концентрации напряжений около отверстий.

Задача в нелинейной постановке для изотропного несжимаемого материала с функцией удельной потенциальной энергии деформации (потенциалом энергии деформации) в виде

,

где , , – константы, причем – модуль сдвига линейной теории, – главные инварианты меры деформации Коши, сводится к двум краевым задачам линейной теории упругости. Это позволяет использовать для их решения хорошо разработанные аналитические методы линейной теории, в частности метод комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили. Эти задачи выделяются при ограничении разложений для радиус-вектора частиц в текущей конфигурации и функции гидростатического давления членами разложения по малому параметру до второго порядка:

, .

Здесь симплектический оператор, градиент.

При этом условие несжимаемости удовлетворится тождественно для произвольных функций и , а условия интегрируемости уравнений равновесия превратятся в бигармонические и.

Переходя к комплексным переменным , и вводя комплексные потенциалы по формуле Гурса:

,

получим, что полученные бигармонические уравнения выполнятся тождественно, а решением системы уравнений равновесия являются функции:

, ,

где , , , .

Искомые потенциалы аппроксимируются разложением в ряды Лорана, а коэффициенты находятся из условия удовлетворения граничным условиям на бесконечности и на контуре отверстия. На бесконечности с помощью предельного перехода получаем конечную систему линейных алгебраических уравнений для части коэффициентов разложения. Получение уравнений для оставшихся коэффициентов требует вычисления интегралов типа Коши на контуре отверстия. Тангенциальные напряжения на контуре, потребные для вычисления коэффициента концентрации вычисляются в виде инварианта , поскольку на свободном от нагрузки контуре нормальные напряжения равны нулю. Аналогично вычисляются тангенциальные напряжения второго порядка.

Найдены решения задачи о концентрации напряжений около эллиптического отверстия при равномерном растяжении. Показано, что в рамках эффектов первого порядка, полученное решение совпадает с классическим решением линейной теории упругости, а учет нелинейности в области концентраторов снижает концентрацию напряжений.

Список литературы

1. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости / А.И. Лурье. – М.: Наука, 1980. – 512 с.

2. Жуков Б.А. Модель эффектов третьего порядка в статических задачах расчетов резинотехнических изделий / Б.А. Жуков, Н.А. Щукина / Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Серия Естественные науки, 2010. - № 3. - С. 24–27.

3. Жуков Б.А. Один вариант метода Синьорини при плоской деформации несжимаемого материала / Б.А. Жуков / Изв. РАН. МТТ, 2001. - № 4. - С. 59 –67.

4. Жуков Б.А. Эффекты третьего порядка в исследовании концентрации напряжений около отверстий / Б.А. Жуков, Н.А. Щукина / Известия ВолгГТУ, 2010. - Т.1 №3. - С. 113–118.


Назад к списку