О несостоятельности стандартных оценок латентных параметров дихотомической модели Раша

И.Н. Елисеев, И.С. Шрайфель
Южно-Российский государственный университет,
г. Шахты

Значения латентных параметров дихотомической модели Раша – уровня знаний студентов и трудности заданий - рассчитываются по результатам тестирования, которые представляются в виде дихотомической матрицы ответов . Каждая строка такой матрицы представляет собой профиль ответов студента на заданий теста, а каждый столбец – профиль ответов всех студентов на одно конкретное задание. Элемент матрицы ответов отражает результат выполнения i-ым участником j-ого задания: , когда задание выполнено верно, и , если оно выполнено неверно. В дихотомической модели Раша вероятность правильного выполнения i-ым студентом j-ого задания определяется равенством где - уровень знаний i-ого участника тестирования, - трудность j-ого задания. Значения латентных параметров , итерационно оцениваются по матрице ответов размера . На первом шаге в качестве начальных оценок параметров принимаются значения

где - количество верных ответов i-ого участника тестирования, - количество верных ответов на j-ое задание. Затем эти значения уточняются. Для получения оценок и в единой интервальной шкале производятся следующие преобразования:

, (1)

где , , , - поправочные коэффициенты;

Оценки, рассчитываемые по формулам (1), получили название стандартных. Возникает вопрос, удовлетворяют ли стандартные оценки (1) следующему специальному условию состоятельности.

Пусть , - числовые последовательности. При всех

рассмотрим оценки параметров , и оценки параметров , , рассчитанные по формулам (1) для дихотомической матрицы ответов размера , полученной в результате ответа испытуемых с уровнем знаний на заданий теста трудности , при условии, что для матрицы такой расчёт оказался возможным. Назовём эти оценки состоятельными (не в традиционном смысле, а лишь в смысле, которым данный термин наделяется в настоящей работе), если для любых двух ограниченных последовательностей , найдётся неслучайная двойная последовательность такая, что при всех величины , сходятся по вероятности, соответственно, к и при , .

Пусть событие B состоит в том, что в результате проведенного тестирования величины , , W и F оказались определенными. Зададим две постоянные последовательности , k=1, 2, …, где

. (2)

В работе показано, что в предположении наступления события B оценки не являются состоятельными в определенном выше смысле. Положим . Вехи полученного доказательства таковы. При и (следующие слова относятся лишь к пп. 3)-5)) при условии появления события B:

1) вероятность события B стремится к 1;

2) для каждого условные математические ожидания стремятся, соответственно к и , а условные дисперсии бесконечно малы;

3) случайные величины сходятся по вероятности к и соответственно, k=1, 2, …; как следствие, к этим же предельным значениям сходятся по вероятности средние ;

4) случайные величины сходятся по вероятности к 0;

5) оценки сходятся по вероятности к 0.

Так как заданные значения параметров и не равны между собой (2), то совпадение предельных значений и свидетельствует о несостоятельности во введённом выше смысле оценок и (прибавление к двум нулям одного и того же числа вновь даёт пару равных чисел).

Таким образом, проведенный теоретический анализ показал, что оценки латентных переменных однопараметрической дихотомической модели Раша, рассчитанные по дихотомической матрице результатов тестирования с помощью алгоритма PROX, не являются состоятельными. Поэтому они могут быть использованы на практике лишь для достаточно грубой первичной оценки значений латентных параметров. 

Назад к списку