Расчет стационарной скорости распространения пламени с помощью метода локального потенциала

А.В. Кудрин
Удмуртский государственный университет,
г. Ижевск

Для решения краевой задачи о расчете стационарной скорости распространения пламени применяется метод конечных элементов с использованием двух подходов к получению системы алгебраических уравнений: метод взвешенных невязок для дифференциального уравнения и вариационная формулировка в виде термодинамического потенциала. Уравнение сохранения энергии, описывающее одномерное стационарное распространение пламени при учете одностадийной реакции горения в бинарной газовой смеси (продукт → реагент) имеет вид:

. (1)

Здесь – температура, – теплоемкость, – коэффициент теплопроводности, – теплота реакции, – массовая скорость распространения пламени, плотность определяется уравнением состояния , где давление полагается постоянным, – удельная газовая постоянная. Граничные условия для адиабатической температуры и скорости распространения пламени при полном выгорании исходного вещества имеют вид:

, (2)

, , (3)

. (4)

Вариационная формулировка задачи заключается в минимизации функционала:

. (5)

Потенциал представляет собой производство энтропии в рассматриваемой термодинамической системе:

. (6)

Здесь , термодинамические потоки и обобщенные силы – го необратимого процесса, которыми в нашем случае являются теплопроводность и химическая реакция, соответствующие индексам и , имеют вид:

, ,

, .

В соответствии с концепцией локального потенциала при получении уравнения Эйлера-Лагранжа варьирование по переменной не проводится, что обеспечивает эквивалентность вариационной постановки задачи (5) с потенциалом (6) и дифференциальной постановки (1). Применение метода конечных элементов к (1) и (5) приводит к системам квазилинейных алгебраических уравнений соответственно:

, (7)

, (8)

где - номер приближения «внутренней» (назовем ее так) итерационной процедуры. Использование метода взвешенных невязок приводит к необходимости обеспечения устойчивости разностной схемы (7) по правой части, тогда как дискретная реализация вариационной формулировки (8) связана с устойчивостью по начальным данным. Решение уравнения (1) может удовлетворять трем граничным условиям (2) - (3) только при одном значении параметра , которое соответствует стационарному распространению пламени. Поскольку данное значение заранее не известно для «внутреннего» итерационного цикла требуется введение «внешнего» (или глобального) итерационного процесса вида

, (9)

обеспечивающего выполнение условия сохранения реагента в ходе химической реакции согласно уравнению (4). Проведенные расчеты соответствуют распространению пламени по смеси предварительно перемешанных газов. Распределения физических переменных (температура , теплового потока и скорости химической реакции ) по расчетной области и значения стационарной скорости распространения пламени , полученные как при решении исходного дифференциального уравнения (1), так и при применении метода локального потенциала совпадают. В обоих случаях полученное значение стационарной скорости распространения пламени составляет 1.46 кг/(м²с).

Список литературы

1. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махвиладзе Г.М. Математическая теория горения и взрыва. М.: Наука, 1980. - 478 с.

2. Karpov A.I. Minimal entropy production as an approach to the prediction of stationary rate of flame propagation // Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics. 1992. Vol. 17, No 1. P. 1–9.

3. Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. - М.: Мир, 1964. – 456 с.

4. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. М.: Мир, 1973. – 280 с. 

Назад к списку