Способы преобразования характеристик нерегулярных числовых последовательностей

Е.С. Беспалов, Д.Л. Спиричев
Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики,
г. Москва

---

При исследовании нерегулярных числовых последовательностей (НЧП) приходится решать задачи по преобразованию характеристик сформированных последовательностей, а требования к характеристикам и характер преобразований определяется областью применения. К таким характеристикам относятся:

- длина НЧП;

- корреляционные характеристики НЧП.

Рассмотрим формирующие алгоритмы на основе полинома Чебышева второго рода [1]:

, , (1)

где – число последовательности чисел ; порядковый номер числа последовательности; – длина последовательности; , – константа, определяющая величину интервала, в котором формируются числа;

,, (2)

где , – константа.

Алгоритмы (1) и (2) в кольцевом генераторе формируют НЧП с более совершенными корреляционными характеристиками (при условии M₁=M), чем последовательности той же длины, сформированные этими алгоритмами по отдельности [2].

В рассматриваемых алгоритмах (1) и (2) начальными условиями являются M₁=M, u₀, q₀. Для решения таких радиотехнических задач, как помехозащищенная связь или идентификация, одно из начальных условий можно использовать, например, в качестве «ключа», а другое значение рассчитать с помощью оптимизирующего алгоритма.

Оптимизация алгоритмов (1) и (2) заключается в том, что при заданном начальном M=M₁ осуществляется поиск начального значения последовательности, при котором уровень главного лепестка ненормированной автокорреляционной функции является наивысшим, и одновременно, отношение боковых лепестков к главному не превышает уровень 0,2 [3].

Таким образом, оптимизация начальных условий алгоритмов формирования НЧП имеет несколько достоинств:

- скрытый от несанкционированного приема подбор начального условия, определяющего вид числовой последовательности;

- подбор начального условия является однозначным и автоматизированным;

- сформированная последовательность имеет наилучшие корреляционные характеристики.

Расчет длины неповторяющихся элементов НЧП в программной среде MatLab показал, что при округлении элементов НЧП, формируемой алгоритмами (1) и (2) по отдельности, до 4-го знака после запятой, среднее значение длины составляет 46,4 (при M=1), а максимальное – 118 элементов (рис. 1, для наглядности отсчеты соединены черными линиями, использован оператор plot).

Введя в процесс формирования НЧП анализ рассчитываемых элементов, то есть проверку на нули функции (-1; -0,7071; 0; 0,7071; 1), а также проверку на повторение элементов, длина последовательности существенно увеличивается (среднее значение длины 350.2, максимальное – 674 элемента) за счет изменения обнаруженных элементов (рис. 1, использованы линии серого цвета).

При округлении элементов НЧП до 5-го знака после запятой использование блока анализа увеличивает среднее значение длины НЧП (при M=1) со 188,8 до 1410,8 (рис. 2).

Пример формирования НЧП кольцевым генератором, состоящим из алгоритмов (1) и (2) с использованием блока анализа рассчитываемых элементов (при M=1, округление элементов до 5-го знака после запятой) приведен в расположенной ниже программе M-файла.

На рис. 3а изображена нормированная автокорреляционная функция (АКФ) НПЧ, сформированной алгоритмом (1), и на рис. 3б – нормированная АКФ НЧП, сформированной по приведенному M-файлу, при:
u₀ = 0.005; M=1; округление элементов до 5-го знака после запятой.

В результате анализа вычислений сделан вывод, что рассмотренные в данной работе преобразования улучшают характеристики НЧП, сформированных алгоритмами на основе полинома Чебышева второго рода, что в свою очередь повышает эффективность использования НЧП при решении поставленных задач.

Таким образом, преобразования характеристик НЧП позволяют:

- существенно увеличить длину неповторяющихся элементов НЧП;

- снизить относительный уровень боковых лепестков АКФ.

Рис. 1. Зависимость длины НЧП от начального условия u₀ (При M=1, округление элементов НЧП до 4-го знака после запятой);

серая кривая – значения длин НЧП, формируемой кольцевым генератором с блоком анализа рассчитываемых элементов;

черная кривая – значения длин НЧП, формируемой алгоритмом (1);

пунктир – средние значения длин НЧП

Рис. 2. Зависимость длины НЧП от начального условия u₀ (При M=1, округление элементов НЧП до 5-го знака после запятой);

серая кривая – значения длин НЧП, формируемой кольцевым генератором с блоком анализа рассчитываемых элементов;

черная кривая – значения длин НЧП, формируемой алгоритмом (1);

пунктир – средние значения длин НЧП

Программа М-файла:

function y=blok_leng(T0)

sm=0;%Признаки повторения

sm1=0;%элементов НЧП

M=1;

zn=[T0];%Начальный массив элементов НЧП

L=1;%Начальная длина НЧП

w=0;%коээфициент, реализующий кольцевой генератор

while sm==0

%Кольцевой генератор

T=T0;

s=(-1)^w*4*M*sqrt(1-(T/M)^2)*(2*(T/M)^3-(T/M));

%при w=0 - алгоритм (1)

%при w=1 - алгоритм (2)

w=1-abs(w);%w поочередно принимает значения 0 и 1

%Округление до 5-го знаа после запятой

q=100000*s;

T0=round(q)/100000;

%Проверка на нули функции

if abs(T0)==1

T0=(zn(L)-1)/4;

end

if T0==0

T0=(zn(L)-1)/3;

end

if abs(T0)==0.7071

T0=(zn(L)-1)/5;

end

%Проверка на повторяющиеся элементы НЧП

zn=[zn,T0];

L=length(zn);

a=T0;

z=L-1;

if z>=1

for u=1:z

b=zn(u);

if a==b

T0=round(100000*(a-1)/5)/100000;

zn(L)=T0;

sm1=sm1+1;

end

end

end

if sm1>=1

for j=1:z

b=zn(j);

if T0==b

sm=sm+1;

end

end

end

end

y=zn;

Рис. 3 – Нормированная автокорреляционная функция (АКФ) НЧП при u₀=0,005, M=1, округление элементов НЧП до 5-го знака после запятой);

а) нормированная АКФ НЧП, формируемой алгоритмом (1).

б) нормированная АКФ НЧП, формируемой кольцевым генератором с блоком анализа рассчитываемых элементов

Список литературы

1. Беспалов Е.С. Формирование нерегулярных числовых последовательностей по алгоритмам, содержащим классические полиномы// Радиотехника.- 2007. - № 9. - С. 48-50.

2. Мусянков М.И., Беспалов Е.С., Спиричев Д.Л. Взаимно- связанные алгоритмы формирования нерегулярных числовых последовательностей// Труды РНТО РЭС им. Попова. Серия: Цифровая обработка сигналов и ее применение. – М.: Инсвязьиздат. – 2010. – Выпуск XII-1. – С. 97-99.

3. Спиричев Д.Л. Оптимизация начальных параметров при генерации псевдослучайных числовых последовательностей // Сборник трудов. Ч.2 Физико-математические науки. – М.: МИРЭА. – 2011. – С.81-84. 

---

Назад к списку